Горбунов - Контур Януса

Когда в ролике рассказывают про фракталы, то, как правило, рассказ сопровождается графикой метаморфоз фрактала при стремлении масштаба рассмотрения к нулю. За кадром звучит загадочная музыка, призванная усугубить впечатление от поразительной картины нескончаемого углубления фрактала в крохотную область возле нуля. Шаг за шагом спираль развития повторяет пройденные формы, невозмутимо буравя бесконечно малые участки числового поля. В качестве начального отправного пункта можно взять сантиметр, можно миллиметр, можно микрон и ангстрем, можно их квадратные, кубические, многомерные градации. Ничего не изменится. Ничего не изменится и при смене направления. Рост фрактала столь же неостановим, как и уменьшение. Он осваивает бесконечность в обе стороны, наглядно показывая условность такого свойства числовой оси, как направление.

Есть только одно место, где направление существенно,—это нуль. Тут направление возможно только одно — во вне, наружу. Внутрь уже нельзя. Это место—точка, наличествует уже в одномерном варианте. Сама точка считается нульмерным пространством, в котором нет места ни для чего, кроме неё. Да и сама она как бы и не существует там, поскольку там и нет ничего. Такой предмет — точка.—Тонкий. В двухмерном варианте точка разрастается до линии, внутрь которой, поскольку она не содержит этого самого «внутрь», тоже нет хода. В трёхмерном рассмотрении таковым свойством обладает поверхность—у неё ведь нет толщины. Наконец, нам надо ожидать, что и пространство, — наше привычное трёхмерное, не имеет объёма—четырёхмерного объёма, если его поместить в четырёхмерную протяженность. Ну и так далее. В каждом η-мерном пространстве предполагаются образующие его структуры, состоящие из точек.—Из объектов с нулевой размерностью. Из объектов не имеющих определения, так что и объектами точки назвать нельзя.—Точку вообще невозможно как-либо назвать, ибо нету этой вещи математического, как и какого-либо другого, определения, соответствующего строгим научным канонам.

Точка и всё тут.

Всё, что состоит из точек, можно назвать множеством. В том числе и упомянутые структуры, носящие названия линия, плоскость, поверхность, пространство.—Слова в некотором смысле беспочвенные, поскольку базируются они на точке,—на том, что не имеет определения.

Множество—тоже слово. Если взять несколько точек, то получится множество. Если взять несколько множеств, то получится ещё множество. И так далее. Множеств — великое множество. Регулирует и ранжирует множества теория множеств. Теория столь богатая на сюрпризы, что уже успела породить «кризис оснований математики». — Внушающая своего рода трепет, ибо не факт что порождённый кризис,—единственный из тех, коими она чревата. Вообще упомянутые основания, мне думается, назвать основаниями можно только с некоторой натяжкой, поскольку тектонический потенциал этой зоны заставляет подрагивать всё здание нашего познания.

Сколь бы ни изощрялась математика, сколь бы ни оплетала словами проблемные зыбкие области, зыбкость имеет свойство порождать проблемы следующего уровня, корни которых упрямо прячутся в пустом, казалось бы, месте.—В точке. В той конечной стадии редукции всех пространств и множеств.

В конечной!

Может, в этом суть затруднений? Может, нам отойти от такой радикальности? Почему бы редукции не продолжаться, не упираясь в эту самую конечную стадию? Чем она хуже, например, нашей промежуточной ступени?